Prüfungsvorbereitung: Flächen & Volumen
Masseinheiten umwandeln
- Längenmasse: mm → cm → dm → m (Faktor: 10).
m → km (Faktor: 1000). - Flächenmasse: mm² → cm² → dm² → m² → a → ha → km² (Faktor: 100).
- Volumenmasse: mm³ → cm³ → dm³ → m³ (Faktor: 1000).
Besondere Einheiten (Liter, Are, Hektare)
- Liter (l): 1 Liter ist exakt dasselbe wie 1 dm³. (Und 1 ml = 1 cm³).
- Are (a): Entspricht einer Fläche von 10 m · 10 m = 100 m².
- Hektare (ha): Entspricht einer Fläche von 100 m · 100 m = 10.000 m² (oder 100 a).
2D-Formen: Fläche und Umfang
| 2D-Form | Fläche (A) | Umfang (U) | Anmerkung & Definition |
|---|---|---|---|
| Quadrat | A = a² | U = 4 · a | Alle Seiten sind gleich lang und alle Winkel rechtwinklig. Jedes Quadrat ist auch ein Parallelogramm, Rhombus, Drachenviereck, Trapez und ein Rechteck. (Also alles ausser ein Dreieck) |
| Rechteck | A = a · b | U = 2 · (a + b) | Die gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und alle Winkel rechtwinklig. Jedes Rechteck ist auch ein Parallelogramm und ein Trapez. |
| Parallelogramm | A = a · ha | U = 2 · (a + b) | Die Gegenüberliegenden Seiten sind parallel und gleich lang. Der Flächeninhalt ist gleich wie ein Rechteck mit der Gleichen Höhe und Seitenlänge. Jedes Parallelogramm ist auch ein gleichschenkliges Trapez. |
| Dreieck | A = c · hc 2 | U = a + b + c | Der Flächeninhalt ist halb so gross wie ein Rechteck mit der gleichen Höhe und der gleichen Seitenlänge. Spitzwinkliges Dreieck: Alle drei Innenwinkel sind kleiner als 90 Grad. Rechtwinkliges Dreieck: Genau ein Winkel beträgt 90 Grad (rechter Winkel). Die Seite gegenüber dem rechten Winkel ist die Hypotenuse. Stumpfwinkliges Dreieck: Ein Winkel ist grösser als 90 Grad (stumpfer Winkel). Da die Summe 180 Grad beträgt, können die anderen beiden Winkel nur spitz sein. |
| Trapez |
A = m · h (mit m = a + c 2 ) |
U = a + b + c + d | Mindestens 2 Seiten müssen Parallel sein. Wenn die anderen zwei Seiten gleich lang sind, dann heisst es gleichschenkliges Trapez. m = Mittellinie |
| Drachenviereck | A = e · f 2 | U = 2 · (a + b) | Mindestens eine Diagonale(e/f) muss eine Spiegelachse sein. |
| Rhombus |
A =
e · f
2
oder A = a · ha |
U = 4 · a | Jede Seite ist gleich lang und beide Diagonalen müssen Spiegelachsen sein. Der Unterschied zum Quadrat ist dass ein Rhombus keine rechte Winkel benötigt. Jeder Rhombus ist auch ein Drachenviereck und ein Parallelogramm. |
3D-Formen: Volumen und Oberfläche
Hier sind die wichtigsten Formeln für die dreidimensionalen Figuren aus dem Unterricht:
| 3D-Form | Volumen (V) / Fläche | Oberfläche (O) | Anmerkung | |
|---|---|---|---|---|
| Würfel | V = a3 | O = a2 · 6 | Jede Seite ist gleich lang und jede Fläche ist gleich gross. | |
| Quader | V = G · h | O = 2 · (a·b + a·h + b·h) | Ein dreidimensionales Rechteck. | |
| Prisma | V = G · h | O = Mantelfläche + 2 · G | Die Grund- und die Deckfläche sind gleich gross. Die Grundfläche/Deckfläche jedes Prismas kann man rechtwinklige Dreiecke unterteilen. Die Definition eines Prismas ist, dass man jedes Prisma von einem Rechteck ausschneiden kann und es mindestens 3 Ecken hat. | |
| Pyramide | V = G · h 3 | G + 2 · a · hs | Die Formel für die Oberflächenberechnung funktioniert nur bei quadratischen Pyramiden. (Müssen wir für die Prüfung am 27.3.2026 nicht wissen!) Wenn die Grundfläche ein Quadrat ist, dann ist die Pyramide im Verhältnis 1:6 zum Würfel mit der Grundfläche der Pyramide. |
Gleichungen auflösen
a.) Gleichungen mit Brüchen
- Hauptnenner finden: Suche das kleinste gemeinsame Vielfache aller Nenner in der Gleichung.
- Multiplizieren: Multipliziere jeden einzelnen Term der Gleichung mit diesem Hauptnenner. Dadurch kürzen sich die Brüche weg!
- Auflösen: Löse die nun bruchfreie Gleichung wie gewohnt nach x auf.
b.) Gleichungen mit Parametern
- Sortieren: Bringe alle Terme mit der gesuchten Variable (z.B. x) auf die linke Seite, alle anderen Terme (auch die mit Parametern) auf die rechte Seite.
- Ausklammern: Wenn x in mehreren Termen steht, klammere es aus. Aus ax + bx wird dann x · (a + b).
- Isolieren: Teile die gesamte Gleichung durch die Klammer (a + b), damit x alleine steht.
Übungsaufgaben für Gleichungen (Hier klicken zum Üben)
Aufgabe 1: Gegeben ist die Formel: z = k · p 100
a) Löse nach k auf.
b) Löse nach p auf.
Lösungsweg anzeigen
Zu a) nach k auflösen:
z = k · p100 | · 100
z · 100 = k · p | : p
z · 100p = k
Zu b) nach p auflösen:
z · 100 = k · p | : k
z · 100k = p
Aufgabe 2: Löse nach x auf: 8x - 3b = 3b + 4x
Lösungsweg anzeigen
8x - 3b = 3b + 4x | + 3b, - 4x
4x = 6b | : 4
x = 1.5b
𝕃 = {1.5b}
Aufgabe 3: Löse nach z auf: mz + z = 3
Lösungsweg anzeigen
Tipp: z ausklammern!
z · (m + 1) = 3 | : (m + 1)
z = 3m + 1
𝕃 = { 3m + 1 }
Aufgabe 4: Löse nach x auf: a² - b² = x(a - b)
Lösungsweg anzeigen
a² - b² = x(a - b) | : (a - b)
a² - b²a - b = x (3. Binomische Formel anwenden!)
(a + b)(a - b)1 · (a - b) = x
(a - b) wegkürzen:
a + b = x
𝕃 = {a + b}
Aufgabe 5: Löse nach x auf: (x + 6a)² = 4a(9a - 1) + x(x - 4a)
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1. Binomische Formel & Distributivgesetz anwenden:
x² + 12xa + 36a² = 36a² - 4a + x² - 4xa | - x², - 36a², + 4xa
16xa = - 4a | : 16a
x = - 14
𝕃 = {- 14 }
Aufgabe 6 (Brüche): Löse nach x auf:
-x - 56x - 23 + 4x = -3x + 56 + 5x - 83x
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Brüche gleichnamig machen (Hauptnenner = 6):
-6x6 - 5x6 - 46 + 24x6 = -18x6 + 56 + 30x6 - 16x6 | · 6
-6x - 5x - 4 + 24x = -18x + 5 + 30x - 16x | TU (Termumformung)
-4 + 13x = -4x + 5 | + 4x
-4 + 17x = 5 | + 4
17x = 9 | : 17
x = 917
Zusatzaufgabe 1 (Zum Selbsttesten): Löse nach x auf: ax - 7 = bx + 5
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ax - 7 = bx + 5 | - bx, + 7
ax - bx = 12 | x ausklammern
x(a - b) = 12 | : (a - b)
x = 12a - b
Zusatzaufgabe 2 (Zum Selbsttesten): Löse nach x auf: x2 + x4 = 6
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Hauptnenner ist 4!
2x4 + x4 = 244 | · 4
2x + x = 24
3x = 24 | : 3
x = 8