Gleichungen
Gleichungen auflösen
a.) Gleichungen mit Brüchen
- Hauptnenner finden: Suche das kleinste gemeinsame Vielfache aller Nenner in der Gleichung.
- Multiplizieren: Multipliziere jeden einzelnen Term der Gleichung mit diesem Hauptnenner. Dadurch kürzen sich die Brüche weg!
- Auflösen: Löse die nun bruchfreie Gleichung wie gewohnt nach x auf.
b.) Gleichungen mit Parametern
- Sortieren: Bringe alle Terme mit der gesuchten Variable (z.B. x) auf die linke Seite, alle anderen Terme (auch die mit Parametern) auf die rechte Seite.
- Ausklammern: Wenn x in mehreren Termen steht, klammere es aus. Aus ax + bx wird dann x · (a + b).
- Isolieren: Teile die gesamte Gleichung durch die Klammer (a + b), damit x alleine steht.
Übungsaufgaben für Gleichungen (Hier klicken zum Üben)
Aufgabe 1: Gegeben ist die Formel: z = k · p 100
a) Löse nach k auf.
b) Löse nach p auf.
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Zu a) nach k auflösen:
z = k · p100 | · 100
z · 100 = k · p | : p
z · 100p = k
Zu b) nach p auflösen:
z · 100 = k · p | : k
z · 100k = p
Aufgabe 2: Löse nach x auf: 8x - 3b = 3b + 4x
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8x - 3b = 3b + 4x | + 3b, - 4x
4x = 6b | : 4
x = 1.5b
𝕃 = {1.5b}
Aufgabe 3: Löse nach z auf: mz + z = 3
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Tipp: z ausklammern!
z · (m + 1) = 3 | : (m + 1)
z = 3m + 1
𝕃 = { 3m + 1 }
Aufgabe 4: Löse nach x auf: a² - b² = x(a - b)
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a² - b² = x(a - b) | : (a - b)
a² - b²a - b = x (3. Binomische Formel anwenden!)
(a + b)(a - b)1 · (a - b) = x
(a - b) wegkürzen:
a + b = x
𝕃 = {a + b}
Aufgabe 5: Löse nach x auf: (x + 6a)² = 4a(9a - 1) + x(x - 4a)
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1. Binomische Formel & Distributivgesetz anwenden:
x² + 12xa + 36a² = 36a² - 4a + x² - 4xa | - x², - 36a², + 4xa
16xa = - 4a | : 16a
x = - 14
𝕃 = {- 14 }
Aufgabe 6 (Brüche): Löse nach x auf:
-x - 56x - 23 + 4x = -3x + 56 + 5x - 83x
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Brüche gleichnamig machen (Hauptnenner = 6):
-6x6 - 5x6 - 46 + 24x6 = -18x6 + 56 + 30x6 - 16x6 | · 6
-6x - 5x - 4 + 24x = -18x + 5 + 30x - 16x | TU (Termumformung)
-4 + 13x = -4x + 5 | + 4x
-4 + 17x = 5 | + 4
17x = 9 | : 17
x = 917
Aufgabe 7: Löse nach x auf: ax - 7 = bx + 5
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ax - 7 = bx + 5 | - bx, + 7
ax - bx = 12 | x ausklammern
x(a - b) = 12 | : (a - b)
x = 12a - b
Aufgabe 8: Löse nach x auf: x2 + x4 = 6
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Hauptnenner ist 4!
2x4 + x4 = 244 | · 4
2x + x = 24
3x = 24 | : 3
x = 8