Satz des Pythagoras
Was ist der Satz des Pythagoras?
Der Satz des Pythagoras funktioniert nur in rechtwinkligen Dreiecken. Er beschreibt das Verhältnis der drei Seiten zueinander.
- Die Katheten (a und b): Das sind die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden.
- Die Hypotenuse (c): Das ist die längste Seite des Dreiecks. Sie liegt dem rechten Winkel immer genau gegenüber.
Beschriftung eines rechtwinkligen Dreiecks
Warum gilt das? (Beweise)
Hier sind historischen Beweise, um zu zeigen, dass die Formel wirklich stimmt.
1. Der Beweis von Chou-pei
Die mathematische Lösung (Flächenvergleich):
Wir berechnen die Fläche des gesamten großen Quadrats auf zwei verschiedene Arten:
- Als Ganzes: Die Seitenlänge des großen Quadrats ist (a + b).
Fläche = (a + b)² = a² + 2ab + b² (1. Binomische Formel) - In Einzelteilen: Das große Quadrat besteht aus 4 rechtwinkligen Dreiecken und einem inneren Quadrat.
Fläche der 4 Dreiecke = 4 · (a · b / 2) = 2ab
Fläche des inneren Quadrats = c²
Gesamtfläche = 2ab + c²
Da beide Berechnungen dasselbe große Quadrat beschreiben, setzen wir sie gleich:
a² + 2ab + b² = 2ab + c² | - 2ab
a² + b² = c²
2. Der Beweis von Abu-L-Abbasal-Fadlibn Hatim an-Narizi (Umlagerung)
Die mathematische Lösung (Umlagerung):
Wir vergleichen zwei gleich große Quadrate mit der Seitenlänge (a + b).
- In den ersten zwei Bildern: Man sieht b² und a² zusammen. Wir zeichnen zwei Dreiecke am Rand ein.
- Im dritten Bild: Wir schieben die zwei Dreiecke zu einem Rechteck zusammen. Jetzt bleibt eine andere viereckige Fläche frei: Ein Quadrat mit der Fläche c²
Schlussfolgerung:
Da wir die zwei Dreiecke in beiden (gleich großen) Rahmen nur verschoben haben, muss der Platz, der jeweils übrig bleibt, genau gleich groß sein.
Daraus folgt zwingend: Der freie Platz aus Bild 1 ist gleich dem freien Platz aus Bild 3.
c² = a² + b²
Übungsaufgaben
Aufgaben zum Pythagoras (Hier klicken)
Aufgabe 1 (Hypotenuse berechnen): In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Katheten a = 3 cm und b = 4 cm lang. Berechne die Hypotenuse c.
Lösungsweg anzeigen
a² + b² = c²
3² + 4² = c²
9 + 16 = c²
25 = c² | √ (Wurzel ziehen)
c = 5 cm
Aufgabe 2 (Kathete berechnen): In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse c = 13 cm und die Kathete a = 5 cm lang. Berechne die Kathete b.
Lösungsweg anzeigen
a² + b² = c²
5² + b² = 13²
25 + b² = 169 | - 25
b² = 144 | √ (Wurzel ziehen)
b = 12 cm